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소수의 나눗셈(최종)

자연수의 몫으로 나누어떨어지지 않으면 어떻게 할까요?
나머지를 구하지 않는 나눗셈을 하는 방법을 알아보도록 해요.

그럴땐 소수점을 찍고 계속해서 나누어 주면 돼죠.

예를 들어 8.4÷1.5의 문제가 있다면

위와 같이 소수점을 옮기고 84÷15의 계산을 해줘요.

그런데 84안에 15가 5번 들어가고 9가 남죠?

이제 몫의 5뒤에 점을 찍고 84뒤에는 0을 적어줘요.

그런후 90÷15의 계산을 해주면 6이죠? 그렇게 해서 

몫은 5.6이 나와요.

검산을 해보면 1.5×5.6=8.4가 되는 것을 알 수 있어요.

계속 나누어도 나누어떨어지지 않으면 계속 계산을 하면 되는데

'소수점 아래 둘째자리까지 몫을 구하세요.' 하는 형태로 나온다면

계산을 그보다 하나 더 해서 소수점 아래 셋째자리까지 하고

반올림을 해서 소수점 아래 둘째자리까지 나타내면 돼요.

소수의 나눗셈2

이번엔 '소수÷소수'를 해보죠.

예를 들어 13.2÷2.2라는 문제가 있다면

13.2에서 2.2를 몇번 빼면 0이 되는지를 알아보면 되겠죠?

13.2 -2.2 -2.2 -2.2 -2.2 -2.2 -2.2 = 0

그래서 13.2÷2.2 = 6 이 되는데요.

이 문제를 다른 방법으로 풀어봐요. 아래와 같이 소수를 분수로 바꿔서 

와 같이 써보면 문제는 132÷22와 같은 것이 되죠.

이 과정을 세로셈으로 보면

이와 같이 소수점이 옮겨지는 것으로 생각하면 돼요.

이는 계산을 쉽게 하기 위한 트릭이에요. 

그렇게 해서 132÷22로 계산할 수 있다는 것이에요.

하지만 이렇게 몫이 자연수가 나오면서 나누어떨어진다면

이대로 계산해도 아무런 문제가 없지만

나머지가 0이 아닌 경우에는 문제가 생겨요.

위의 문제를 조금 바꿔서 13.3÷2.2 로 한다면 나누어 떨어지지 않아요.

소수의 나눗셈에서는 몫과 나머지를 어떻게 구할까요?

소수의 나눗셈과 나머지

이번엔 자연수의 몫으로 나누어떨어지지 않는 소수의 나눗셈을 해보죠.
몫과 나머지를 공부를 먼저 해야해요.
예를 들어
13.3÷2.2 로 한다면 나누어 떨어지지 않아요.
즉 13.3에서 2.2를 6번 뺀다면 0이 되지 않아요.

2.2를 6번 뺀다면 13.2를 빼는 것이니 남아 있는 것이 0.1이 남죠.

즉 13.3÷2.2는 몫이 6이고 나머지가 0.1이에요.

검산을 해보면 

2.2×6+0.1=13.3 이 맞지요?

자 이제 이것을 위에서 했던 대로 

분수로 바꿔서도 해보고 세로셈으로도 해봐요.

먼저 분수로 바꿔 써보면

이렇게 되는데 이것을 133÷22로 계산을 한다면

몫은 6이고 나머지가 1이 나와요.

22×6+1=133 이에요.

즉 133÷22는 원래의 나눗셈인 13.3÷2.2와 몫은 같아도 나머지는 같지 않아요.

이제 세로셈으로 해보죠.

이러한 나눗셈을 하기 위해 소수점을 오른쪽으로 한 칸씩 옮겨요.

그럼 위와 같이 파란색 점이 새롭게 찍을 수 있는데

몫의 자리수를 결정하는 것은 저 파란 점이에요.

하지만 나머지는 원래의 소수점에 의해 자리가 결정돼요.

만약 몫만 구하고 나머지는 구하지 않아도 되는 문제라면

이렇게 복잡한 소수점의 위치를 고민할 필요는 없어요.

즉 소수점을 옮긴상태로 계산하면 되는 것이에요.

자연수와 분수의 곱셈

아래의 문제를 통해 분수와 자연수의 곱셈을 볼게요.

이 문제에선 곱셈의 의미에 의해

이렇게 쓸 수 있겠죠. 

그런데 모두 분모가 같은 분수니까 분자끼리 계산하면

그것을 곱셈의 의미에 맞춰서 써보면

이렇게 쓸 수 있어요. 그 다음엔 계산해주고 대분수로 고쳐주면 끝나요.

'분수× 자연수'의 모습은 이렇게 표현할 수 있겠네요.

만약 '자연수×분수'의 형태이면 

교환법칙을 이용해 '분수×자연수'로 고쳐서 

위와 같이 할 수 있어요.

통분

분수가 2개 이상 있을 때 필요에 의해 분모를 같도록 만들어줘야 할 때가 있어요. 이렇게 같아진 분모를 '공통분모'라고 해요.
하지만 분모가 같아져도 분수는 그 크기가 변하지 말아야죠.
그럴때는 적당한 값을 분모와 분자에 곱해서 분수의 크기가 변하지 않도록 수를 변화시키는데 이것을 '통분'이라고 해요.

분수를 통분하는 방법에는 2가지 방법이 있어요.

다음 두 분수를 통분해 보면서 연습해보죠.

     

 이때 공통분모를 4×6으로 정할 수 있겠죠.
그럼 다음과 같이 분수를 변화시켜요.

    

 그래도 각각의 분수는 크기가 변하지 않아요.

다른 방법은 공통분모를 4와 6의 최소공배수로 정할 수 있겠죠.
4와 6의 최소공배수는 얼마인가요? 네, 그렇죠. 12예요.
그럼 다음과 같이 분수를 변화시켜요.

    

이 둘 중 첫번째 방법이 더 간단하긴 하지만 가능하다면 두번째 방법을 사용하세요.
그것이 분수를 통분하려던 원래의 목적에 잘 맞기 때문이에요.
분수를 통분하는 것은 분수의 덧셈이나 뺄셈을 하기 위해서예요.
그런데 첫번째 방법으로 통분하면 계산하는 수가 너무 커져서 불편해지고 실수할 가능성도 많아지죠.

약분

서로 같은 분수라는 원리이용해 분모와 분자의 공약수로 분모와 분자를 나누는 것을 '약분'이라고 해요.

약분은 한 번만 할 수도 있지만 경우에 따라서는 여러번 할 수도 있겠죠.
아무튼 이렇게 여러번 했을 때 더이상 약분할 수 없을 때까지 약분한 분수를 '기약분수'라고 해요.

처럼 마지막에 있는 분수는 더이상 약분이 안되니까 기약분수예요.

기약분수인지 아닌지 판단하려면
분모와 분자의 공약수가 있는지를 판단해야하는데
그러려면 그 수들이 어떤 수의 배수인지를 판단해야 해요.
그런 것을 빠르게 판단하는 간단한 몇가지 방법이 있어요.
배수판단법 보기

배수판별법

주어진 수들의 공약수를 구해야 할 때 그 수들이 어떤 수의 배수인지 빨리 판단할 수 있다면 보다 쉽게 문제를 해결할 수 있겠죠?
그래서 이번엔 간단한 배수의 판별법을 배워볼 거에요.

 2의 배수
이것은 자연수의 마지막 자리(일의 자리) 숫자를 보면 되는데
이 숫자가 '0'이거나 2의 배수이면
주어진 수는 2의 배수예요.
예)
52910는 마지막 자리 숫자가 0이라서 2의 배수예요.
2454156는 마지막 자리 숫자가 6 그래서 2의 배수예요.

 3의 배수
이것은 주어진 수의 각자리 숫자를 모두 더해서 3의 배수가 되면
주어진 수는 3의 배수예요.
예)
1635는 각자리 숫자를 더해보면 1+6+3+5=15 그래서 3의 배수예요.
111은 각자리 숫자를 더해보면 1+1+1=3 그래서 3의 배수예요.

 4의 배수
이것은 주어진 수의 마지막 두자리의 수를 보면 되는데
그 수가 '00' 이거나 4의 배수이면
주어진 수는 4의 배수예요.
예)
1234500은 마지막 두자리의 수가 00 그래서 4의 배수예요.
93432는 마지막 두자리의 수가 32 그래서 4의 배수예요.

 5의 배수
이것은 2의 배수처럼 마지막 자리 숫자만 보면 되는데
그 수가 '0'이거나 '5'면
주어진 수는 5의 배수예요.
예)
1635는 마지막 자리 숫자가 5 그래서 5의 배수예요.
23210은 마지막 자리 숫자가 0 그래서 5의 배수예요.

 6의 배수
주어진 수가 2의 배수도 되고 3의 배수도 되면
주어진 수는 6의 배수예요.
예)
114는 마지막 자리 숫자가 4라서 2의 배수
        그리고 각자리 숫자의 합은 1+1+4=6이라서 3의 배수
        이렇게 2의 배수이면서 3의 배수라서 6의 배수예요.
432는 2의 배수이면서 3의 배수라서 6의 배수예요.

 8의 배수
이것은 마지막 세자리 수만 보면 되는데
그 수가 '000'이거나 8의 배수이면
주어진 수는 8의 배수예요.
예)
1223000은 마지막 세자리 수가 000 그래서 8의 배수예요.
12072는 마지막 세자리 수가 072 그래서 8의 배수예요.

 9의 배수
이것은 3의 배수처럼 각자리 숫자를 모두 더해서 9의 배수가 되면
주어진 수는 9의 배수예요.
예)
1233은 1+2+3+3=9 그래서 9의 배수예요.
43542는 4+3+5+4+2=18 그래서 9의 배수예요.

 11의 배수
주어진 수의 짝수번째 자리의 숫자들의 합과 홀수번째 자리의 숫자들의 합이 같으면
주어진 수는 11의 배수예요.
예)
1232는 1+3=2+2 그래서 11의 배수예요.
473은 4+3=7 그래서 11의 배수예요.

소수와 분수

이번엔 소수를 분수로 분수를 소수로 바꾸는 방법을 배워봐요.

예를 들어 0.8 같은 소수는 

하나의 대상을10조각낸 것중 8개를 의미하니까

과 같아요. 이것을 기약분수로 나타내면

가 되죠?

자 이제 다른 소수를 한번 볼까요?

0.24는 100조각중 24개를 의미하니까

과 같아요. 이것을 기약분수로 나타내면

가 되네요.

소수를 분수로 바꾸는 것은 아주 쉬워요.

소수점 왼쪽의 수는 자연수부분이라 대분수의 앞쪽에 쓰는 수로 쓰고

소수점 오른쪽의 숫자만큼 1뒤에 0을 붙이고 분모에 쓰고

분자는 소수점 오른쪽의 수를 그대로 쓰면 돼요.

그리고 약분이 되는 분수라면 약분을 해서 기약분수로 나타내는 것으로 마무리하면 돼요.

소수 3.14를 분수로 고쳐볼께요.

3.14 = 3+0.14 이니까

로 쓸 수 있나요? 이 분수는 약분이 가능하니까

이렇게 기약분수로 나타낼 수 있어요.

이제 분수를 소수로 고치는 방법을 알아보죠.

분수를 기약분수로 만들고 

분자가 분모보다 크다면 대분수로 바꾸세요. 

둘의 순서는 무엇을 먼저해도 상관없어요.

그리고 분모가 10, 100, 1000 등 1과 0으로 되는 수가 되도록 

분모에 적당한 값을 곱해요.

2×5=10

4×25=100

8×125=1000

16×625=10000

이 곱셈의 결과들을 활용하면 쉽게 할 수 있을 거에요.

분모에 그런 수를 곱했다면 분자에도 같은 수를 곱해야 겠죠.

그렇게 한 후 소수로 바꿔주면 돼요.

예를 들어볼께요.

와 같은 분수를 소수로 바꾸라는 문제가 나온다면

먼저 분모와 분자 모두 짝수니까 2로 약분을 해요.

이제 분모와 분자 모두 3의 배수니까 3으로 약분해요.

이것을 대분수로 고쳐요. 191÷20의 몫은 9 나머지 11이니까

이렇게 쓸 수 있고 분모에 5를 곱하면 100이 되니까 분자에도 5를 곱해

와 같이 쓸 수 있어요.

이것을 소수로 나타내면

가 되어서 분수를 소수로 고치는 과정이 끝나게 되네요.

만약 분모가 1과 0으로 만들어 지지 않는 분수라면 어떻게 해야 할까요?

나눗셈을 이용해서 소수로 만들면 되요. 

그런데 이때는 소수점 오른쪽으로 한없이 계산이 되기 때문에 '⋯'을 써서 표현하거나 적당한 자리에서 반올림하여 어림해서 표현하면 되요.

소수의 나눗셈

여러분 이번엔 소수의 나눗셈을 공부해봐요.

먼저 '소수÷자연수'부터 시작하죠.

예를 들어 4.35÷5 같은 문제가 있다면 어떻게 할까요?

4.35÷5 = 435÷100÷5

               = 435÷5÷100

               = 87÷100

               = 0.87

이것을 세로셈으로 해보면

처음 4에 5가 0번 들어가고 43에는 5가 8번 들어가죠.

그럼 3위에 8을 쓰는데 소수점을 위로 올려서 찍어주어야 해요.

그리고 남아 있는 35에 5가 7번 들어가고 나머지는 0이죠.

이렇게 해서 0.87이라는 몫을 얻게돼요.

소수의 곱셈

여러분 이번엔 소수의 곱셈을 공부해봐요.

먼저 '소수×자연수'의 경우부터 해볼께요.

예를 들어 2.3×4 같은 문제가 있다면

이는 2.3을 4번 더하라는 문제에요.

즉 2.3+2.3+2.3+2.3 이라고 쓸 수 있겠죠.

계산해보면 9.2가 나오네요.

그런데 23×4를 계산해보면 92가 나오죠.

그러니까 2.3×4는 23×4과 비슷한 과정을 거칠 것이라고 

생각할 수 있겠죠?

차이점은 소수점이 되겠네요.

어떻게 저렇게 되는지 조금 다른 방법으로 생각해봐요.

2.3×4 = 23÷10×4

            = 23×4÷10

            = 92÷10

            = 9.2

만약 이 문제를 조금 바꾼다면 어떻게 될까요?
예를 들어

0.23×4 = 23÷100×4

               = 23×4÷100

               = 92÷100

               = 0.92
또는
2.3×0.4 = 23÷10×4÷10

                = 23×4÷10÷10

                = 92÷100

                = 0.92
여러분은 이 문제들을 보며 무슨 규칙을 찾았나요?
소수의 곱셈은
소수점을 없다고 생각하고 자연수의 곱셈으로 계산을 한 후
소수점의 위치를 맞춰준다는 것을 알게 되었을 거에요.

분수의 나눗셈

분수의 나눗셈은 어떻게 할까요?

먼저 '분수÷자연수'부터 볼께요.

예를 들어

와 같은 문제는

에서 빨간색을 5로 나누면 어떻게 되는지를 묻는 문제이죠?

위 그림에서 빨간색 조각 5개중 1개가 바로 원하는 답이 될 것이고

이는 원래의 사각형에서는

과 같아서 아래와 같이 분자에서 나눗셈이 됨을 알겠지요?

그렇다면 분자가 자연수로 나누어 떨어지지 않는 문제라면 어떻게 할까요?

즉, 

와 같은 문제는

을 5등분 하는 것인데

위의 그림을 5등분 하게되면

이와 같이 나오죠. 

그중 하나만을 선택한다면

와 같아서 결국 40조각중 3개가 되지요.

정리해보면 '분수÷자연수'는 분자가 자연수로 나누어 떨어진다면

와 같은 방법으로 하면 되고 그렇지 않으면

이렇게 할 수 있어요. 그리고 이 두 가지는 같은 것이지요.

이번엔 '자연수÷분수'의 경우를 살펴봐요.

와 같은 문제를 보면 이것을 위의 방법처럼 '몇 등분'이라는 개념으로 생각할 수 있나요? 나누는 수가 자연수가 아니면 그렇게 생각할 수 없어요.

그래서 '나누는 수를 몇 번 빼면 0이 되는가'로 생각해봐요.

그림처럼 사각형 2개를 그려요.

그리고 

이라면

위의 그림에서 빨간색 부분을 말하는 것이죠.

이만큼씩을 2에서 뺄려면 사각형을 모두 3조각씩 나눠야지요.

이렇게 한 후 하나씩 뺀다면 몇번을 뺄 수 있나요?

네 모두 6번이죠.

이 과정을 식으로 써보면

와 같이 나타낼 수 있겠네요.

이번엔 문제를 살짝 바꿔서

로 해봐요. 그러면

2에서 

만큼씩 빼면 되는데 이렇게 뺀다면 몇번을 뺄 수 있나요?

네 모두 3번이에요.

이렇게 '자연수÷분수'의 경우 자연수를 분모가 '나누는 분수의 분모'와 같도록 분수로 고친후 분자끼리만 나누어주면 되는데요.

즉

 이런 문제는

 이렇게 분모를 맞춰준 후 분자끼리만 계산하면

이렇게 되는데 나누어떨어지지 않을 때는 분수로 표현하면 되죠.

다시 정리해보면

와 같이 표현할 수 있겠네요.

어 그러고 보니 나누는 수의 분모와 분자가 뒤집어진 상태로 곱하기가 되네요.

이는 '분수÷분수'에서도 동일하게 적용되어서

로 쓸 수 있어요.